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第零章 预备知识1

0.1 2、3阶行列式1

0.2 行列式的性质4

0.3 求和号与连乘符号9

0.4 数域12

习题零13

第一章 空间与向量14

1.1 向量与空间直角坐标系14

1.1.1 向量的基本概念14

1.1.2 向量的线性运算及投影15

1.1.3 空间直角坐标系17

1.2 向量的内积、外积与混合积19

1.2.1 内积19

1.2.2 外积21

1.2.3 混合积23

1.2.4 向量间的关系24

1.3 空间平面及其方程25

1.3.1 平面的点法式方程25

1.3.2 平面的一般式方程26

1.3.3 平面的截距式方程27

1.3.4 平面的三点式方程28

1.3.5 同轴平面束28

1.4 空间直线及其方程29

1.4.1 直线的点向式方程与参数式方程29

1.4.2 直线的一般式方程30

1.5 位置关系、夹角与距离32

1.5.1 两平面间的关系32

1.5.2 直线与平面间的关系32

1.5.3 两直线间的关系33

1.5.4 直线和平面相互间的夹角34

1.5.5 距离35

习题一37

第二章 线性方程组40

2.1 线性方程组的解法40

2.2 线性方程组解的情况的判定45

2.3 齐次线性方程组48

习题二50

第三章 行列式52

3.1 n元排列52

3.2 n阶行列式54

3.3 行列式的性质56

3.4 行列式的展开公式61

3.5 克拉默（Cramer）法则68

习题三70

第四章 矩阵代数72

4.1 矩阵及其运算72

4.1.1 加法和数乘72

4.1.2 乘法73

4.1.3 转置75

4.1.4 矩阵的运算与行列式76

4.2 分块矩阵78

4.2.1 分块矩阵78

4.2.2 初等矩阵与初等变换81

4.3 可逆矩阵83

习题四88

第五章 向量空间90

5.1 n维向量空间90

5.1.1 n维向量空间与子空间91

5.1.2 向量组的线性组合与线性表出91

5.2 向量组的线性相关性93

5.3 向量组的秩97

5.3.1 两个向量组的关系97

5.3.2 极大线性无关组98

5.3.3 向量组的秩99

5.3.4 向量（子）空间的基与维数100

5.4 矩阵的秩101

5.4.1 矩阵的三种秩101

5.4.2 矩阵秩的计算102

5.4.3 三种秩的统一103

5.4.4 矩阵秩的性质103

5.5 线性方程组的解理论104

5.5.1 齐次线性方程组有非零解的条件104

5.5.2 齐次线性方程组的解空间与基础解系105

5.5.3 非齐次线性方程组有解的条件109

5.5.4 非齐次线性方程组有解时解的结构110

5.5.5 R3中三个平面的位置关系113

5.6 欧氏空间114

5.6.1 内积与欧氏空间114

5.6.2 内积与度量115

5.6.3 一个矩阵秩的例子116

5.6.4 标准正交基和正交矩阵117

5.6.5 施密特（Schmidt）正交化方法118

5.6.6 可逆实矩阵的QR分解120

习题五122

第六章 矩阵的特征值问题124

6.1 矩阵的特征值与特征向量124

6.1.1 基本概念124

6.1.2 特征值与特征向量的计算方法125

6.1.3 特征多项式及其性质127

6.1.4 特征向量的性质与特征子空间128

6.2 矩阵的相似与对角化130

6.2.1 矩阵的相似130

6.2.2 矩阵的对角化问题131

6.2.3 矩阵对角化的应用与例134

6.2.4 特征值理论的几个应用135

6.3 实对称阵的对角化141

6.3.1 实对称阵的特征值与特征向量的性质141

6.3.2 实对称阵的对角化143

6.3.3 实对称阵的对角化（主轴化）方法144

习题六146

第七章 二次型149

7.1 二次型和它的标准形149

7.2 复数域上二次型的规范形160

7.3 实数域上二次型的规范形162

7.4 正定二次型和正定矩阵165

习题七169

第八章 几何意义与应用专题172

8.1 矩阵与变换172

8.1.1 矩阵映射与矩阵变换的定义172

8.1.2 矩阵映射的性质173

8.1.3 R2与R3中几类特殊的矩阵变换175

8.1.4 矩阵映射的复合与矩阵乘法180

8.1.5 变换的不变量与特征值理论181

8.1.6 坐标系替换与矩阵相似183

8.1.7 正交变换187

8.2 行列式的几何意义191

8.2.1 二阶、三阶行列式的几何意义191

8.2.2 矩阵变换与行列式193

8.2.3 一般行列式的几何意义195

8.3 最小二乘问题197

8.3.1 近似解的标准——最小距离197

8.3.2 最小二乘解的应用200

8.3.3 最小二乘问题的微积分推导203

8.4 二次曲线与二次曲面204

8.4.1 R2中的二次曲线及其标准方程204

8.4.2 二次曲线一般方程的化简与分类207

8.4.3 3维空间中的二次曲面213

习题八220

部分习题参考答案224

致谢251