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第一章 实数集与函数1

1 实数1

一 实数及其性质1

二 绝对值与不等式2

2 数集·确界原理4

一 区间与邻域4

二 有界集·确界原理5

3 函数概念8

一 函数的定义8

二 函数的表示法9

三 函数的四则运算10

四 复合函数11

五 反函数11

六 初等函数12

4 具有某些特性的函数14

一 有界函数14

二 单调函数15

三 奇函数和偶函数17

四 周期函数17

总练习题19

第二章 数列极限21

1 数列极限概念21

2 收敛数列的性质27

3 数列极限存在的条件34

总练习题39

第三章 函数极限41

1 函数极限概念41

一 x趋于∞时函数的极限41

二 x趋于x0时函数的极限42

2 函数极限的性质47

3 函数极限存在的条件51

4 两个重要的极限53

一 证明lim x→0sinx/x=153

二 证明lim x→∞(1+1/x)2=e54

5 无穷小量与无穷大量56

一 无穷小量56

二 无穷小量阶的比较57

三 无穷大量60

四 曲线的渐近线62

总练习题65

第四章 函数的连续性67

1 连续性概念67

一 函数在一点的连续性67

二 间断点及其分类69

三 区间上的连续函数70

2 连续函数的性质72

一 连续函数的局部性质72

二 闭区间上连续函数的基本性质73

三 反函数的连续性76

四 一致连续性77

3 初等函数的连续性81

一 指数函数的连续性81

二 初等函数的连续性82

总练习题83

第五章 导数和微分86

1 导数的概念86

一 导数的定义86

二 导函数89

三 导数的几何意义90

2 求导法则93

一 导数的四则运算93

二 反函数的导数96

三 复合函数的导数97

四 基本求导法则与公式99

3 参变量函数的导数102

4 高阶导数104

5 微分109

一 微分的概念109

二 微分的运算法则111

三 高阶微分112

四 微分在近似计算中的应用113

总练习题115

第六章 微分中值定理及其应用117

1 拉格朗日定理和函数的单调性117

一 罗尔定理与拉格朗日定理117

二 单调函数121

2 柯西中值定理和不定式极限123

一 柯西中值定理123

二 不定式极限124

3 泰勒公式132

一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式132

二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式136

三 在近似计算上的应用138

4 函数的极值与最大（小）值140

一 极值判别140

二 最大值与最小值142

5 函数的凸性与拐点145

6 函数图像的讨论152

7 方程的近似解153

总练习题156

第七章 实数的完备性159

1 区间套定理·聚点定理与有限覆盖定理159

一 区间套定理159

二 聚点定理与有限覆盖定理161

2 柯西收敛准则164

一 数列极限的柯西收敛准则164

二 函数极限的柯西收敛准则165

3 上极限和下极限167

总练习题169

第八章 不定积分170

1 不定积分概念与基本积分公式170

一 原函数与不定积分170

二 基本积分表172

2 换元积分法与分部积分法176

一 换元积分法176

二 分部积分法181

3 有理函数和可化为有理函数的不定积分185

一 有理函数的不定积分185

二 三角函数有理式的不定积分189

三 某些无理根式的不定积分190

总练习题194

第九章 定积分196

1 定积分概念196

一 问题提出196

二 定积分的定义197

2 牛顿－莱布尼茨公式200

3 可积条件203

一 可积的必要条件203

二 可积的充要条件204

三 可积函数类205

4 定积分的性质208

一 定积分的基本性质208

二 积分中值定理212

5 微积分学基本定理·定积分计算（续）215

一 变限积分与原函数的存在性215

二 换元积分法与分部积分法217

三 泰勒公式的积分型余项222

总练习题225

第十章 定积分的应用228

1 平面图形的面积228

2 由平行截面面积求体积231

3 平面曲线的弧长与曲率235

一 平面曲线的弧长235

二 曲率239

4 旋转曲面的面积242

一 微元法242

二 旋转曲面的面积244

5 定积分在物理中的某些应用246

一 液体静压力246

二 引力246

三 功与平均功率248

6 定积分的近似计算250

一 梯形法250

二 抛物线法251

总练习题254

第十一章 反常积分255

1 反常积分概念255

一 问题提出255

二 两类反常积分的定义256

2 无穷积分的性质与收敛判别261

一 无穷积分的性质261

二 非负函数无穷积分的收敛判别法262

三 一般无穷积分的收敛判别法264

3 瑕积分的性质与收敛判别267

总练习题271

附录Ⅰ 微积分学简史272

附录Ⅱ 积分表280

一 含有xn的形式280

二 含有a+bx的形式280

三 含有a2±x2,a＞0的形式281

四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式281

五 含有？a+bx的形式281

六 含有？x2±a2,a＞0的形式282

七 含有？a2-x2,a＞0的形式283

八 含有sin x或cos x的形式283

九 含有tan x,cot x,sec x,csc x的形式284

十 含有反三角函数的形式285

十一 含有ex的形式285

十二 含有In x的形式286

附录Ⅲ 常用曲线287

部分习题答案与提示290

索引313

人名索引317