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第一章 线性微分算子和线性函数空间1

1.1 线性变换和线性微分算子1

1.1.1 H空间的一些基本特性1

1.1.2 映射(或变换)4

1.1.3 线性微分算子6

1.1.4 齐次边值问题的平凡解和非平凡解7

1.1.5 共轭线性微分算子和线性自共轭算子8

1.2 微分算子的本征值和本征函数9

1.2.1 本征值和本征函数的定义9

1.2.2 一维波动方程的本征值和本征函数10

1.2.3 推广的本征问题12

1.2.4 本征函数的特性13

1.2.5 本征函数系完备性的证明14

1.2.6 本征函数展开16

1.3 线性微分算子的格林函数17

1.3.1 逆算子和算子的反演问题18

1.3.2 格林函数的构造19

1.3.3 一维泊松方程和波方程的格林函数20

1.3.4 无限大边界问题22

1.4.1 最优逼近和余量加权法24

1.4 用矩量法求解微分方程的边值问题24

1.4.2 矩量法求算子方程的解析解25

1.4.3 自共轭算子的变分形式及其与矩量法的一致性27

第二章 广义函数与广义傅里叶变换30

2.1 广义函数和广义函数空间31

2.1.1 广义函数的定义及基本性质32

2.1.2 关于δ函数的初步讨论34

2.1.3 广义函数的傅里叶变换37

2.2 波动方程边值问题中的广义函数42

2.2.1 半无限大域上的广义函数和广义傅里叶变换42

2.2.2 有界域问题的广义函数和广义傅里叶变换46

2.2.3 E空间中的非纯函数和函数的纯化49

2.3 一维波动方程边值问题的广义傅里叶变换52

2.3.1 柯西问题和柯西问题的基本解52

2.3.2 泊松方程的基本解54

2.3.3 无限大域下一维波动方程的格林函数问题57

2.3.4 半无限大域下一维波动方程的格林函数问题59

2.3.5 有解域下一维波动方程的格林函数问题60

2.3.6 小结——关于奇异性问题的讨论62

第三章 矢量偏微分算子和矢量波函数空间66

3.1 矢量偏微分运算符与矢量场论的一般知识67

3.1.1 矢量偏微分运算符68

3.1.2 矢量场论中的一些常用的数学公式70

3.1.3 矢量算符和矢量偏微分算子72

3.1.4 矢量偏微分算子的自共轭性和自共轭边界条件74

3.2 亥姆霍兹定理和广义亥姆霍兹定理79

3.2.1 自由空间中的亥姆霍兹定理与旋量场、无旋场的特性79

3.2.2 有界域下亥姆霍兹定理82

3.2.3 二维系统下的广义亥姆霍兹定理84

3.2.4 广义亥姆霍兹定理——电磁场在矢量波函数空间上的完全射影定理86

3.3 矢量偏微分算子方程本征问题的分离88

3.3.1 矢量拉普拉斯算子本征问题的分离89

3.3.2 旋量场算子本征问题的分离90

3.3.3 特征函数及其对应的标量边界条件92

第四章 规则边界下标量场算子的本征问题和格林函数问题95

4.1 标量场算子的本征问题95

4.1.1 直角坐标下标量场算子的本征问题96

4.1.2 圆柱坐标下标量场算子的本征问题99

4.1.3 球坐标下标量场算子的本征问题104

4.2 三维本征函数系的完备性和本征函数变换问题108

4.2.1 三维标量场算子本征函数系的完备性问题108

4.2.2 三维标量场算子的本征函数展开和本征函数变换110

4.2.3 用矩量法求算子的反演——格林函数的普遍形式116

4.3 标量场算子的格林函数问题118

4.3.1 波动方程非齐次问题的一般讨论118

4.3.2 具有无限大边界的标量场算子的格林函数120

4.3.3 有界域下标量场算子的格林函数122

第五章 矢量场算子的本征问题和格林函数问题126

5.1 矢量场算子的本征问题126

5.1.1 标准的L，M和N类矢量波函数127

5.1.2 几种特殊矢量波函数模式的讨论128

5.1.3 矢量波函数的正交性和归一化积分131

5.1.4 归一化的矢量波函数及其正则化问题134

5.2 调和矢量函数空间中的广义函数和广义傅里叶变换136

5.2.1 矢量波函数的完备性问题136

5.2.2 矢量函数空间中的δ函数142

5.2.3 矢量函数的本征函数变换和并矢格林函数问题145

5.3 非齐次旋量场算子问题分离成标量的形式148

5.3.1 用标量格林函数形式求解并矢格林函数149

5.3.2 从电子注与波的相互作用看激励电流的广义函数性质154

5.3.3 总结与讨论157

参考文献158